La demostración de Euclides de que existen infinitos números primos

Euclides de Alejandría, famoso por elaborar el primer sistema deductivo bajo la forma de una teoría científica –la geometría expresada en su libro Elementos- fue quien además demostró que existen infinitos números primos.
Intentaremos brindar una explicación clara y para un público amplio de cómo Euclides demostró que hay infinitos números primos.

Existen números primos y números compuestos. Los números primos son los números naturales que sólo se pueden dividir exactamente por sí mismos y por la unidad, o sea por el número 1.
Por ejemplo, el 3 se puede dividir de manera exacta solo por 3 y por 1, así que califica como número primo.

Los números compuestos son aquellos números naturales que se pueden dividir exactamente por algún otro número natural, además del 1 y de sí mismos.
Todo número compuesto es producto de varios factores primos, o sea, es resultado de multiplicar varios números primos. Por ejemplo el número 165 es igual a 3 x 5 x 11; el 21= 3 x 7; el número 6 es producto de 2 x 3.
El número 1 no se considera primo ni compuesto en virtud de una convención.

Después en matemáticas existen otros tipos de números primos que no vienen al caso, como los números primos entre sí o primos relativos, que son aquellos números enteros que simultáneamente sólo pueden dividirse exactamente por 1 o por -1, aunque tomados individualmente puedan dividirse por más números (o sea no ser primos necesariamente). Por ejemplo el 8 y el 15, tomados aisladamente no son primos, pero sí lo son entre sí. Pues su máximo divisor común es el 1.

Euclides utilizó un método lógico, del que ya hablaremos, que se llama demostración por el absurdo para establecer que existen infinitos números primos, algo que hasta que él formuló este argumento no se sabía.

Demostrar algo es ofrecer un argumento que nos permita llegar a una afirmación a partir de otras con rigor deductivo.

Podemos pensar en brindar un razonamiento que permita, a partir de ciertas premisas verdaderas, llegar a una conclusión verdadera: precisamente aquello que se desea demostrar.
Esto es característico de lo que se denomina demostración directa, por ejemplo, el argumento “todos los hombres son mortales” y “Sócrates es hombre”, por lo tanto “Sócrates es mortal” garantiza que si las primeras afirmaciones (premisas) son verdaderas, también será verdadera la conclusión con toda certeza.

Pero existe una manera diferente de demostrar una cierta afirmación, que es la demostración por el absurdo. Consiste en partir de la hipótesis de que lo que queremos demostrar es verdadero, no como premisa del razonamiento sino como un supuesto, una conjetura. Se supone que si lo que queremos demostrar es verdadero (que existen infinitos números primos en el caso de Euclides), entonces si planteamos un argumento o razonamiento que incluya la negación de nuestra conjetura entre sus premisas se arribará a una contradicción.

Ello se basa en lo siguiente: en un razonamiento deductivo no se puede obtener nunca una conclusión falsa a partir de premisas verdaderas, y si se obtiene una contradicción al menos una de las premisas será falsa. Y si se sabe que las otras premisas no son falsas, la que introducimos para buscar obtener una contradicción será la falsa, y esa, recordemos, es la negación de la que queremos demostrar. Y si “no p” es falsa, “p” será verdadera y habremos logrado nuestro objetivo.

En el caso de la demostración de la existencia de infinitos números primos por parte de Euclides, si se plantea que “existe un número primo que es el mayor de todos” ello es la negación de que existen infinitos números primos, pues esto último significa que no hay un número primo, cualquiera que sea, que es el mayor de todos los números primos.

Eso fue lo que hizo el primer director del departamento de Matemáticas del Museum de Alejandría. Partió del supuesto de que había un número primo que era el mayor de todos los números primos, para buscar una contradicción realizando deducciones.

Veamos como lo hizo:

N= es el número primo mayor de todos.
Si hay un número primo que es el mayor, entonces debe haber un número que resulte de multiplicar todos los números primos, incluyendo N (no importa cuál es ese número, pero se deduce de la existencia de N que existe uno que es producto de todos los primos): Llamamos P a ese número.

P= el producto de todos los primos, el que resulta de multiplicar todos los números primos hasta el mayor de todos, N: (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13…x N).
Como N es el número primo mayor, P es un número compuesto, ya que además resulta de multiplicar números primos, o sea, es divisible exactamente por sí mismo, por 1 y por otros números (cada uno de los primos).
A Euclides se le ocurrió, además pensar que si existe P existe P+1, un número, no importa cual, que es el que resulta de sumarle 1 a P. Llamamos a ese número K.

K= el número mayor en una unidad que el producto de todos los números primos, P. O sea K= P+1 esto es lo mismo que decir que K= (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13…x N) + 1

Ahora pensemos en el número P.
P se puede dividir por cada uno de los números primos sucesivamente una cantidad exacta de veces (no importa cuantas veces), precisamente porque lo obtuvimos multiplicando todos los números primos. Si todos los primos fuesen 50 haríamos cincuenta divisiones exactas y nuestro resultado sería 1.
Pero, si pensamos ahora en dividir K por cada uno de estos números primos que integran el paréntesis, en todos los casos nos encontraremos con que no se lo puede dividir exactamente: siempre sobra una unidad (el +1 que diferencia a K de P).

Para hacerlo más intuitivo pensemos en un ejemplo: si el número primo mayor fuese 5 el número P sería 2 x 3 x 5= 30 y K= 31 Si intentamos dividir exactamente 31 por 2 no podemos (pues nos sobra 1) si intentamos dividirlo por 3 no podemos tampoco (también sobra 1) e igualmente con el 5, pues siempre nos sobra uno y K no se puede dividir exactamente por ninguno de los números primos.

¿Conclusión? K es un número primo, pues no se puede dividir por ningún primo. Pero K es un número mayor que N, que es el primo mayor de todos.
Por lo tanto, K es un número compuesto. Aquí surge la contradicción: suponer que existe un número primo mayor de todos obliga a reconocer que existe otro número, K, que es primo y no es primo.

O bien, suponer que existe un número primo mayor de todos obliga a reconocer que existe otro número primo que es mayor que el mayor de todos.

De lo que se deduce que la afirmación de que hay un número primo que es el mayor de todos es falsa (pues procedimos deductivamente y con las otras premisas verdaderas) y, por tanto, es verdadera su negación, la que sostiene que no hay un número primo que sea el mayor de todos, o sea, que hay infinitos números primos

Qué es la predicción científica

En las ciencias empíricas, una predicción se puede entender de dos maneras: como la operación o actividad de formular una descripción de un hecho desconocido o como la descripción misma, o sea el enunciado.

En ocasiones algunos filósofos y epistemólogos se refieren a la predicción científica -tal vez bajo la influencia de Hempel- como el razonamiento o argumento formulado para obtener una conclusión predictiva.

Pero por lo general la predicción se refiere a un enunciado, una oración descriptiva acerca de un suceso, mayormente de bajo nivel de generalidad.

Es característico de toda predicción científica que, al ser formulada como un enunciado, permanece como una conjetura su estatus cognitivo, o sea que es una hipótesis cuyo valor de verdad no conocemos todavía.

En consecuencia, es un error identificar la predicción con la descripción de un suceso futuro, pues no toda predicción se refiere al futuro.

Una predicción científica es una hipótesis, una conjetura que se formula a partir del conocimiento teórico -generalmente basado en leyes- que se posee en una cierta disciplina científica, por ello no es caprichosa ni una mera profecía.

Pero lo que diferencia una predicción científica de una profecía es que una predicción es un enunciado desconocido (en cuanto a su valor de verdad) que se formula a partir de otros conocidos, de manera condicional y justificada.

En esta definición no hay presente ningúna alusión al momento de la ocurrencia del hecho, si bien la predicción es realizada en algún momento por algún científico, pues se trata de un concepto epistemológico, cognitivo, y no metafísico.

Por ejemplo, si se parte de que todos los metales se dilatan cuando son calentados -una ley- y se toma una vara de metal para luego calentarla -las condiciones iniciales- se puede luego predecir "esta vara de metal se dilató".

Nótese que el hecho ya ha ocurrido, es pasado que se dilató, pero se trata de una auténtica predicción, un pasaje de lo conocido a lo desconocido, que luego deberá ser contrastado con la observación o el experimento (mediremos la vara para comparar el resultado de la medición con un valor anterior).

De manera que lo que siempre ocurre después de una predicción es la prueba o test de la predicción, y no el hecho.

Naturalmente, muchas predicciones se refieren a sucesos del futuro, pero también otras aluden a hechos del pasado (en el sentido de que se afirma algo cuyo valor de verdad no se conoce y en base a conocimiento teórico), y algunos autores denominan retrodicciones a algunas de ellas, aunque no por ello dejan de ser un tipo de predicción científica en el sentido especificado.

Similarmente, si decido alterar mi dieta regular con abundantes comidas calóricas, luego de un par de días, si no me he pesado, podré formular la predicción de que engordé.

De modo que, en tanto noción específicamente epistemológica una predicción es una hipótesis bien fundada, generalmente deducida de ciertos otros enunciados, que permanecerá como tal hasta que se haga una prueba o contrastación de la misma.

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