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La demostración de Euclides de que existen infinitos números primos

Euclides de Alejandría: demostración de que existen infinitos números primos
Euclides de Alejandría, famoso por elaborar el primer sistema deductivo bajo la forma de una teoría científica –la geometría expresada en su libro Elementos- fue quien además demostró que existen infinitos números primos.
Intentaremos brindar una explicación clara y para un público amplio de cómo Euclides demostró que hay infinitos números primos.

Existen números primos y números compuestos. Los números primos son los números naturales que sólo se pueden dividir exactamente por sí mismos y por la unidad, o sea por el número 1.
Por ejemplo, el 3 se puede dividir de manera exacta solo por 3 y por 1, así que califica como número primo.

Los números compuestos son aquellos números naturales que se pueden dividir exactamente por algún otro número natural, además del 1 y de sí mismos.
Todo número compuesto es producto de varios factores primos, o sea, es resultado de multiplicar varios números primos. Por ejemplo el número 165 es igual a 3 x 5 x 11; el 21= 3 x 7; el número 6 es producto de 2 x 3.
El número 1 no se considera primo ni compuesto en virtud de una convención.

Después en matemáticas existen otros tipos de números primos que no vienen al caso, como los números primos entre sí o primos relativos, que son aquellos números enteros que simultáneamente sólo pueden dividirse exactamente por 1 o por -1, aunque tomados individualmente puedan dividirse por más números (o sea no ser primos necesariamente). Por ejemplo el 8 y el 15, tomados aisladamente no son primos, pero sí lo son entre sí. Pues su máximo divisor común es el 1.

Euclides utilizó un método lógico, del que ya hablaremos, que se llama demostración por el absurdo para establecer que existen infinitos números primos, algo que hasta que él formuló este argumento no se sabía.

Demostrar algo es ofrecer un argumento que nos permita llegar a una afirmación a partir de otras con rigor deductivo.
Podemos pensar en brindar un razonamiento que permita, a partir de ciertas premisas verdaderas, llegar a una conclusión verdadera: precisamente aquello que se desea demostrar.
Esto es característico de lo que se denomina demostración directa, por ejemplo, el argumento “todos los hombres son mortales” y “Sócrates es hombre”, por lo tanto “Sócrates es mortal” garantiza que si las primeras afirmaciones (premisas) son verdaderas, también será verdadera la conclusión con toda certeza.

Pero existe una manera diferente de demostrar una cierta afirmación, que es la demostración por el absurdo. Consiste en partir de la hipótesis de que lo que queremos demostrar es verdadero, no como premisa del razonamiento sino como un supuesto, una conjetura. Se supone que si lo que queremos demostrar es verdadero (que existen infinitos números primos en el caso de Euclides), entonces si planteamos un argumento o razonamiento que incluya la negación de nuestra conjetura entre sus premisas se arribará a una contradicción.

Ello se basa en lo siguiente: en un razonamiento deductivo no se puede obtener nunca una conclusión falsa a partir de premisas verdaderas, y si se obtiene una contradicción al menos una de las premisas será falsa. Y si se sabe que las otras premisas no son falsas, la que introducimos para buscar obtener una contradicción será la falsa, y esa, recordemos, es la negación de la que queremos demostrar. Y si “no p” es falsa, “p” será verdadera y habremos logrado nuestro objetivo.

En el caso de la demostración de la existencia de infinitos números primos por parte de Euclides, si se plantea que “existe un número primo que es el mayor de todos” ello es la negación de que existen infinitos números primos, pues esto último significa que no hay un número primo, cualquiera que sea, que es el mayor de todos los números primos.

Eso fue lo que hizo el primer director del departamento de Matemáticas del Museum de Alejandría. Partió del supuesto de que había un número primo que era el mayor de todos los números primos, para buscar una contradicción realizando deducciones.

Veamos como lo hizo:

N= es el número primo mayor de todos.
Si hay un número primo que es el mayor, entonces debe haber un número que resulte de multiplicar todos los números primos, incluyendo N (no importa cuál es ese número, pero se deduce de la existencia de N que existe uno que es producto de todos los primos): Llamamos P a ese número.

P= el producto de todos los primos, el que resulta de multiplicar todos los números primos hasta el mayor de todos, N: (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13…x N).
Como N es el número primo mayor, P es un número compuesto, ya que además resulta de multiplicar números primos, o sea, es divisible exactamente por sí mismo, por 1 y por otros números (cada uno de los primos).
A Euclides se le ocurrió, además pensar que si existe P existe P+1, un número, no importa cual, que es el que resulta de sumarle 1 a P. Llamamos a ese número K.

K= el número mayor en una unidad que el producto de todos los números primos, P. O sea K= P+1 esto es lo mismo que decir que K= (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13…x N) + 1

Ahora pensemos en el número P.
P se puede dividir por cada uno de los números primos sucesivamente una cantidad exacta de veces (no importa cuantas veces), precisamente porque lo obtuvimos multiplicando todos los números primos. Si todos los primos fuesen 50 haríamos cincuenta divisiones exactas y nuestro resultado sería 1.
Pero, si pensamos ahora en dividir K por cada uno de estos números primos que integran el paréntesis, en todos los casos nos encontraremos con que no se lo puede dividir exactamente: siempre sobra una unidad (el +1 que diferencia a K de P).

Para hacerlo más intuitivo pensemos en un ejemplo: si el número primo mayor fuese 5 el número P sería 2 x 3 x 5= 30 y K= 31 Si intentamos dividir exactamente 31 por 2 no podemos (pues nos sobra 1) si intentamos dividirlo por 3 no podemos tampoco (también sobra 1) e igualmente con el 5, pues siempre nos sobra uno y K no se puede dividir exactamente por ninguno de los números primos.

¿Conclusión? K es un número primo, pues no se puede dividir por ningún primo. Pero K es un número mayor que N, que es el primo mayor de todos.
Por lo tanto, K es un número compuesto. Aquí surge la contradicción: suponer que existe un número primo mayor de todos obliga a reconocer que existe otro número, K, que es primo y no es primo.

O bien, suponer que existe un número primo mayor de todos obliga a reconocer que existe otro número primo que es mayor que el mayor de todos.

De lo que se deduce que la afirmación de que hay un número primo que es el mayor de todos es falsa (pues procedimos deductivamente y con las otras premisas verdaderas) y, por tanto, es verdadera su negación, la que sostiene que no hay un número primo que sea el mayor de todos, o sea, que hay infinitos números primos