Buscar

Dos sentidos de "formal" respecto de un sistema axiomático

En el presente artículo meramente señalaremos una ambigüedad que suele presentarse cuando se habla del carácter formal de un sistema axiomático en filosofía de las ciencias formales y en filosofía de las matemáticas.

Y lo mismo con las nociones de "axioma" y "teorema".

La ambigüedad reside en dos diferentes sentidos de la palabra "formal" cuando se aplica a un sistema axiomático.

Se suele dividir a las ciencias (en una de las clasificaciones posibles) entre ciencias formales y ciencias fácticas, siendo las primeras aquellas caracterizadas por poseer un método denominado "demostrativo" y porque su objeto de estudio, aquello de lo que se ocupa, es de carácter abstracto, ideal o "formal": números (artimética), figuras geométricas (geometría pura) y formas de razonamiento (lógica), por ejemplo, en contraposición a los hechos o eventos ubicados espaciotemporalmente de los que se ocupan las ciencias empíricas.

En este primer sentido, el vocablo "formal" se refiere a teorías científicas cuyas afirmaciones son enunciados, o sea, oraciones que pretenden describir la realidad (una parte de ella) y que por tanto poseen valor de verdad (son verdaderas o falsas).

Dicho de otro modo, las oraciones de la lógica y de la matemática, por ejemplo, tienen categoría semántica y sus términos descriptivos (no lógicos) refieren.

Pero en un sistema axiomático formal el sentido de la expresión "formal" es diferente, pues sus términos no lógicos carecen de significado.

Los términos "primitivos" y "definidos" del sistema axiomático no poseen categoría semántica, son variables susceptibles de recibir infinitas interpretaciones pero que por sí mismas nada dicen.

Por ello, los axiomas y los teoremas de cualquier sistema axiomático formal no son enunciados (carecen de significado y de valor de verdad) sino fórmulas bien formadas.

Aquí, entonces se aprecia que cuando hablamos por ejemplo de "la axiomática de Peano" podemos estar refiriéndonos a dos cosas diferentes: a su aritmética axiomatizada (una teoría metamatemática con significado) o a su estructura axiomática subyacente.

Queremos decir que una "axiomática" o una "teoría axiomatizada" no es lo mismo que un sistema axiomático formal.

Veamos el punto. Cuando Peano dice en su primer axioma "cero es un número" allí las palabras "cero" y "número" son términos "primitivos" de su sistema metaaritmético, pero interpretados, con significado: "cero" significa lo que ordinariamente entendemos por cero y "número" tiene el significado que intuitivamente le damos a esa palabra.

Pero es posible tomar los cinco axiomas de Peano y considerarlos sin categoría semántica: en ese caso tenemos el sistema axiomático formal (en el segundo sentido señalado) de la aritmética axiomatizada por Peano.

Ambas cosas corresponden a dominios diferentes, pues si tomamos el término primitivo "número" como un término primitivo formal (en el sengundo sentido) no es más que un molde a la espera de ser rellenado con algún significado, y la fórmula que lo contiene nada dice.

Entonces puedo ofrecer otra interpretación de "número" por ejemplo queriendo decir conjunto y ahora estoy en otra teoría axiomatizada que ya no habla de números sino de conjuntos.

De lo que resulta haber considerado tres sistemas diferentes, dos con significado y otro de base común carente de él: el sistema axiomático formal (de la aritmética de Peano y de la supuesta teoría de conjuntos aludida).

Los mismos dos sentidos pueden hallarse en la expresión "axioma" (y en "teorema"): en el sistema de Peano la expresión tiene significado (el señalado), pero desafortunadamente la familiaridad con los significados usuales de las palabras y el hecho de que al matemático italiano no se le ocurriera usar otras palabras para diferenciar los sentidos suele mover a confusión.

Si Giuseppe Peano hubiese escrito "Pepe es un sese" y luego hubiese introducido definiciones, la cuestión no se prestaría a la ambigüedad que esbozamos en este "artículo".

Pues vemos, ahora utilizando otra palabra como término primitivo, que "sese" no es nada, es una variable, una mera expresión gráfica.

Y luego damos la interpretación que nos convenga: decimos "sese" significa número, significa conjunto o lo que fuera.

Luego, "pepe es un sese" no tiene significado alguno, no es una oración verdadera ni falsa sino, como señalamos, una fórmula, pero si otorgamos significado descriptivo a los términos "pepe" y "sese", entonces será un enunciado verdadero o falso.

Esto es exactamente lo mismo que ocurre con la expresión escrita "cero es un número": podemos ver en esta oración dos cosas diferentes.

Y similarmente con el conjunto de los cinco axiomas de Peano, o sea con todo el sistema de Peano y su carácter "formal", si lo entendemos como una teoría aritmética (que habla de números) axiomatizada o como un sistema axiomático formal.